Les nouveaux programmes de troisième

Fonction linéaire, fonction affine et équation de droite.

Etienne Meyer

janvier 1999

Comme pour l'ensemble du programme, cette partie s'appuie sur les connaissances antérieures, fait le point sur des nouveautés et prépare le terrain aux notions ultérieures avec la préoccupation constante de ne pas formaliser les choses prématurément. L'idée essentielle est de développer l'aspect fonctionnel en poursuivant les travaux dans les trois registres, numérique, algébrique et graphique. Le cadre graphique amène tout naturellement à aborder le concept d'équation qui éclaire le lien entre fonction et représentation graphique, mais il ne s'agit en aucun cas d'une utilisation de cette notion pour résoudre par l'analytique des problèmes de géométrie.

 

Développons la logique qui sous-tend les connaissances au programme concernant les représentations graphiques des fonctions linéaires et affines. La difficulté réside dans le fait que les notions de représentation graphique de fonction et d'équation de courbe (ensemble des points du plan vérifiant…) ne sont pas encore acquises et reposent sur l'utilisation de propriétés caractéristiques. Il faut donc suffisamment expliciter les choses (pour rester rigoureux) et éviter l'écueil d'une trop grande abstraction, certes plaisante, mais peu accessible à un niveau élémentaire. En pratique, cet apprentissage devra s'appuyer sur de nombreux exemples, ce que ne fait pas le texte qui suit, dont l'objet est plutôt de montrer les différentes étapes à franchir et leur articulation. Par contre, la démarche proposée ici a pour ambition de montrer que les résultats peuvent être démontrés ou au moins suffisamment expliqués (à partir d'exemples "génériques") et comment les différentes propriétés s'enchaînent ; une attention particulière a été portée aux propriétés réciproques.

 

Il faut avoir clairement présent à l'esprit que :

 

1°) La représentation graphique (G ) d'une fonction f est l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) vérifiant y = f(x). Cela signifie que M(x ; y) appartient à (G ) si et seulement si y = f(x).

2°) Une équation d'une courbe est une relation entre les coordonnées x et y d'un point du plan caractérisant l'appartenance de ce point à la courbe. F(x , y) = 0 est une équation de la courbe (G ) signifie que M(x , y) appartient à (G ) si et seulement si F(x , y) = 0.

 

Et par conséquent :

 

la représentation graphique de la fonction f est la courbe d'équation y - f(x) = 0.

 

Pour établir que la représentation d'une fonction f est une courbe (G ), il y a donc, f et (G ) étant donnés, deux propriétés à examiner :

 

Le fait que la représentation graphique de la fonction f est la courbe d'équation y = f(x) est par contre une conséquence immédiate de la signification des expressions en jeu.

 

Dans sa partie "compétences exigibles", le programme de troisième énonce : "Représenter graphiquement une fonction linéaire" et "Représenter graphiquement une fonction affine".

On y trouve également : "Déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire à partir de la donnée d'un nombre non nul et de son image" et "Déterminer une fonction affine par la donnée de deux nombres et de leurs images".

Dans les commentaires associés, on trouve : "L'énoncé de Thalès permet de démontrer que la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine ; cette droite a une équation de la forme y = ax" ; "La représentation graphique d'une fonction affine est une droite qui a une équation de la forme y = ax + b" et "Pour déterminer la fonction affine associée à une droite donnée…".

 

Quelles sont finalement les notions et les connaissances auxquels le programme fait plus ou moins explicitement référence ? Et avec quel degré d'exigence ?

 

¨ Il y a tout d'abord la notion de représentation graphique d'une fonction.

 

C'est une notion à faire acquérir (à partir d'exemples de fonctions linéaires, de fonctions affines et de quelques fonctions non affines). Il ne suffira pas de la définir. Ce que l'élève doit savoir et savoir utiliser, c'est que le point de coordonnées (x ; f(x)), pour x donné, est un point de la représentation graphique de f. Il faut l'amener à comprendre également que par ce procédé, on obtient tous les points de la représentation. En dehors du cas des fonctions linéaires et affines, on n'insistera pas sur le caractère global de cette notion ni sur l'aspect réciproque (un point de la représentation est de la forme (x ; f(x)).

 

¨ Il y a aussi la notion d'équation de courbe qui n'apparaît que dans le cas d'équation de droite et sous la forme y = ax et y = ax + b.

 

Cette notion n'est à aborder qu'en liaison avec celle de représentation graphique de fonctions linéaires ou affines, dont elle permet d'alléger et de faciliter l'utilisation. La notion d'équation de droite n'est plus présentée pour elle-même et est reportée en classe de seconde. Elle ne devrait donc pas apparaître en dehors du contexte des fonctions. On ne devrait donc pas voir en troisième des exercices introduits par "soit (d) la droite d'équation y = … ". Par contre, cette notion d'équation de droite, introduite dans des situations numériques, peut aider à faire comprendre et acquérir la notion de représentation graphique de fonction avec laquelle elle est très étroitement liée.

 

¨ Il y a le résultat : la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine ; cette droite a une équation de la forme y = ax.

 

Comme signalé ci-dessus, la deuxième partie de ce résultat est une conséquence immédiate de la bonne compréhension des expressions qui y figurent et la première partie nécessite en toute rigueur l'examen de deux propriétés. De façon plus précise, étant donnée une fonction linéaire f, il s'agit d'établir l'existence d'une droite (D) telle que :

1°) tout point de coordonnée (x ; f(x)) appartient à (D)

2°) si M(x ; y) appartient à (D), alors y = f(x).

 

Le programme précise que l'énoncé de Thalès permet de démontrer ce résultat. Nous examinerons ci-dessous comment cela peut être abordé en troisième.

 

Pour éviter le problème de l'existence de la droite (D), le résultat à démontrer peut être présenté de la façon plus simple suivante.

Soit f la fonction affine et A le point de coordonnées (1 ; a).

La représentation graphique de f est la droite (OA).

La démonstration de ce résultat peut (doit) être précédé d'activités graphiques permettant de le conjecturer ou au moins d'en préciser le sens.

Il ne me paraît pas nécessaire de faire la démonstration dans le cas général. Traiter un exemple "générique" (avec a = 1,5 par exemple et des points particuliers) me semble suffisant (voir ci-dessous).

Une conséquence de ce résultat est "la" propriété réciproque elle-même : toute droite passant par l'origine et distincte de l'axe des ordonnées, est la représentation graphique d'une fonction linéaire. Malgré leurs liens étroits, ces propriétés ne doivent pas être confondues. Le programme ne précise pas que cette propriété fait partie des compétences exigibles. Il n'est donc peut-être pas souhaitable de la formuler dans sa généralité, de la présenter comme un résultat à connaître et à savoir utiliser. Dans la pratique (dans les exercices en situation), cela ne soulève d'ailleurs pas de grande difficulté. Une droite (OA) étant donnée (A non situé sur l'axe des ordonnées), la fonction où admet comme représentation graphique une droite passant par l'origine et par A : c'est la droite (OA). Ce raisonnement peut être fait à chaque fois, en situation ; ce qui est fondamental, c'est l'interprétation graphique du coefficient directeur.

Par contre, figure en compétence exigible, "Déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire à partir de la donnée d'un nombre non nul et de son image". Ceci peut être régler simplement par calcul ; il est souhaitable de le relier à l'interprétation ci-dessus, faisant intervenir la représentation graphique.

Les connaissances attendues sont les suivantes :

la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine,

la représentation graphique de la fonction linéaire est la droite d'équation y = ax,

le coefficient directeur de la droite d'équation y = ax est a : c'est le rapport entre l'ordonnée et l'abscisse d'un point quelconque de la droite, différent de l'origine.

Les connaissances et capacités attendues, lorsqu'une fonction linéaire f : est donnée (par la valeur numérique de a) sont les suivantes :

construire la représentation graphique (D) de la fonction f (choix d'une valeur pour x, calcul de y = ax, dessin du point P(x ; y), dessin de la droite (OP))

savoir que pour toute valeur de x, le point de coordonnées (x ; ax) appartient à (D)

savoir que le point de (D) d'abscisse x a pour ordonnée ax et plus généralement que tout point de (D) a des coordonnées de la forme (x ; ax)

La capacité attendue, lorsque, pour une fonction linéaire f, l'image d'une valeur donnée est connue, est la suivante :

déterminer l'expression algébrique de f en calculant le coefficient

Les capacités attendues, lorsqu'une fonction linéaire f est donnée par sa représentation graphique (une droite D passant par l'origine, distincte de l'axe des ordonnées) sont les suivantes :

déterminer le coefficient directeur de (D) à partir de la donnée d'un point de (D)

déterminer la fonction linéaire f à partir du calcul ou de la donnée du coefficient directeur de (D)

 

¨ Il y a le résultat : La représentation graphique d'une fonction affine est une droite qui a une équation de la forme y = ax + b.

 

Là aussi, la deuxième partie du résultat se justifie par la seule signification des notions présentes. Pour la première partie, le programme suggère de le déduire du résultat concernant les fonctions linéaires en utilisant une translation. Démontrer le résultat (ou au moins l'expliquer) paraît suffisant à partir d'un exemple générique (voir ci-dessous).

Les connaissances attendues sont les suivantes :

la représentation graphique d'une fonction affine est une droite ; cette droite passe par l'origine dans le seul particulier d'une fonction linéaire,

la représentation graphique de la fonction linéaire + b est la droite d'équation
y = ax + b,

le coefficient directeur de la droite d'équation y = ax + b est a : c'est le rapport entre la variation des ordonnées et la variation des abscisses entre deux points quelconques distincts de la droite ; le coefficient b s'appelle l'ordonnée à l'origine : c'est l'ordonnée du point de la droite d'abscisse nulle.

Les connaissances et capacités attendues, lorsqu'une fonction affine f : + b est donnée (par les valeurs numériques de a et b) sont les suivantes :

construire la représentation graphique (D) de la fonction f :

à partir du calcul des coordonnées de deux points,

à partir du calcul des coordonnées d'un point et de l'interprétation du coefficient directeur (faire comme si l'origine était au premier point et qu'il fallait construire la représentation graphique de la fonction linéaire associée),

en utilisant l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur ;

savoir que pour toute valeur de x, le point de coordonnées (x ; ax + b) appartient à (D)

savoir que le point de (D) d'abscisse x a pour ordonnée ax + b et plus généralement que tout point de (D) a des coordonnées de la forme (x ; ax + b)

 

¨ Il y a le résultat : une droite non parallèle à l'axe des ordonnées est la représentation graphique d'une fonction affine, résultat seulement suggéré par l'expression "Pour déterminer la fonction affine associée à une droite donnée…." et liée à la compétence exigible "Déterminer une fonction affine par la donnée de deux nombres et de leurs images".

Il s'agit d'une propriété réciproque de la précédente, qui ne doit pas, logiquement, être confondue avec elle, mais qui lui est étroitement liée (comme pour les fonctions linéaires). Pour respecter strictement le programme qui n'a pas mis ce résultat dans les compétences exigibles, il me semble raisonnable de ne l'utiliser que dans le contexte suivant : la droite représentative d'une fonction affine étant donnée, déterminer cette fonction affine ou répondre à des questions qui font intervenir cette fonction ou l'interprétation de coefficients a et b.

La capacité attendue, lorsque, pour une fonction affine f, les images de deux valeurs données sont connues, est la suivante :

déterminer l'expression algébrique de f

Les capacités attendues, lorsqu'une fonction affine f est donnée par sa représentation graphique (une droite D non parallèle à l'axe des ordonnées) sont les suivantes :

déterminer le coefficient directeur de (D) à partir de la donnée de deux points distincts de (D), en s'appuyant sur l'interprétation graphique : a = ;

déterminer la fonction affine f à partir de la donnée d'un point et du calcul ou de la donnée du coefficient directeur de (D), en s'appuyant sur l'interprétation graphique du coefficient directeur : = ou = a.

(Certains pourront préférer, à cause du cas particulier x = xA, présenter cette interprétation sous la forme y = yA + a(x – xA) qui s'illustre très bien également). L'importance accordée ici à l'interprétation graphique du coefficient directeur est peut-être la nouveauté la plus tangible : elle devrait permettre, en restant plus près du sens des grandeurs qui interviennent (et en accordant moins d'importance à des méthodes plus techniques), une meilleure compréhension et mieux préparer le terrain aux équations de droites et au travail ultérieur sur les tangentes à la représentation graphique d'une fonction (nombre dérivé).

 

 

 

Reprenons ces différents résultats en nous plaçant désormais au niveau d'une classe de troisième, pour en montrer un enchaînement possible. Il ne s'agit pas du déroulement d'un cours et des activités associées. C'est uniquement un éclairage sur la logique qui peut guider ce qui est à faire.

 

 

Fonctions linéaires :

 

La présentation qui peut paraître à priori la plus naturelle est la suivante :

Soit f une fonction linéaire.

1°) les points de la représentation graphique de f sont situés sur une droite passant par l'origine

2°) tous les points de cette droite sont des points de la représentation graphique de f

Conclure par : la représentation graphique de f est une droite …

Et éventuellement (sous la forme suivante ou une autre) : si la représentation graphique d'une fonction est une droite passant par l'origine, alors cette fonction est une fonction linéaire.

 

Il se trouve que la façon la plus simple de démontrer le premier résultat énoncé amène en fait à démontrer au préalable le deuxième résultat. C'est la raison pour laquelle nous proposons une autre démarche.

 

Données :

Soit f la fonction linéaire : .

Soit un repère du plan et A le point de la représentation graphique de f, de coordonnées (2 ; 3) (commentaire : A est bien un point de …). Notons (D) la droite (OA).

 

Vers la représentation graphique de f

La droite (D)

 

1°) Premier résultat

 

Les points de (D) sont des points de la représentation graphique de f.

 

Démontrons par exemple que le point G de (D) qui a pour abscisse 5, appartient à la représentation graphique de f, c'est-à-dire que son ordonnée est égale à f(5).

Dessin … interprétation des coordonnées … théorème de Thalès … … yG = … f(5) =

Démontrons également que le point H de (D) qui a pour abscisse -1, appartient à la représentation graphique de f …

 

Nous admettrons qu'il en ainsi pour tous les points de (D).

 

2°) Deuxième résultat

 

Tous les points de la représentation graphique de f sont situés sur (D).

 

Remarque : les points A, G et H sont des points de la représentation graphique de f et ils appartiennent à (D).

Démontrons par exemple que le point E de la représentation graphique de f qui a pour abscisse –4, appartient à (D) :

Dessin …

Calcul de f(-4) ; coordonnées de E : (-4 ; -6) …

Appelons F le point de (D) qui a pour abscisse -4 : d'après le raisonnement fait au 1°), l'ordonnée du point F est égale à f(-4), c'est-à-dire -6 : c'est donc le même point que le point E.

Le point E appartient bien à (D).

 

Nous admettrons qu'il en de même pour tous les points de la représentation graphique de f.

 

Conclusion :

La représentation graphique de la fonction linéaire f : est la droite (OA).

 

Plus généralement, et nous l'admettrons :

 

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine.

 

Voici ce que cela signifie et comment ça s'utilise :

 

Soit a un nombre et f la fonction linéaire .

Soit x0 un nombre non nul et M0 le point de coordonnées (x0 ; y0) avec y0 = f(x0).

Appelons (D) la droite (OM0) et soit M un point de coordonnées (x ; y).

1°) Si y = f(x), alors M appartient à (D).

2°) Si M appartient à (D), alors y = f(x).

On a donc également les résultats suivants :

1°) Si M n'appartient à (D), alors y ¹ f(x).

2°) Si y ¹ f(x), alors M n'appartient à (D).

 

On dit que la droite (D) a pour équation y = ax.

 

Construction de la représentation graphique de la fonction linéaire f : .

 

Sachant que c'est une droite passant par l'origine, il suffit de chercher un autre point.

 

Interprétation du coefficient a :

 

C'est le rapport entre l'ordonnée et l'abscisse de n'importe quel point de la droite (différent de l'origine).

 

Important : c'est aussi le rapport entre la variation de l'ordonnée et la variation de l'abscisse entre deux points quelconques (différents) de la droite.

Le coefficient a s'appelle le coefficient directeur de la droite d'équation y = ax.

En repère orthormal (pour a > 0), c'est la tangente de l'angle entre l'axe des abscisses et la droite.

 

Important travail à faire faire sur le lien entre la valeur de a et le dessin de la droite (suivant le signe de a et son ordre de grandeur).

 

Travaux possibles en jouant sur le repère : unités différentes selon les axes ; système d'axes dans lequel l'origine ne figure pas (à partir de situations le justifiant).

 

Détermination du coefficient a :

 

Soit f la fonction linéaire qui à x0 associe y0

ou

Soit f la fonction linéaire dont la représentation graphique est la droite (D), droite passant par l'origine et distincte de l'axe des ordonnées. Soit M0(x0 ; y0) un point de (D) différent de l'origine.

Le coefficient a est égal à .

Le coefficient a est aussi le rapport entre la variation de l'ordonnée et la variation de l'abscisse entre deux points quelconques (différents) de la droite.

 

Fonctions affines :

 

Résultat

 

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

 

Voici comment ce résultat peut être expliqué en troisième, en s'appuyant sur les résultats précédents et l'image d'une droite par une translation.

 

Considérons la fonction affine f : et la fonction linéaire associée g : .

La représentation graphique de g est la droite d'équation y = .

La construction de quelques points des représentations graphiques de f et de g (de même abscisse) met en évidence la propriété suivante : la représentation graphique de f est l'image de celle de g par la translation de vecteur . La représentation graphique de f est donc une droite ; c'est la droite d'équation y = + 2 ; elle est parallèle à la droite d'équation y = ; elle passe par le point de coordonnées (0 ; 2).

 

Interprétation des coefficients a et b.

 

Considérons la fonction affine f : . Sa représentation graphique est une droite (D) qui passe par le point (0 ; 2) : le coefficient 2 s'appelle l'ordonnée à l'origine.

(D) est parallèle à la droite d'équation y = 3x, dont le coefficient directeur est 3.

Important : ce nombre 3 est aussi le rapport entre la variation de l'ordonnée et la variation de l'abscisse entre deux points quelconques (différents) de la droite.

Le coefficient a s'appelle le coefficient directeur de la droite d'équation y = ax + b.

En repère orthormal (pour a > 0), c'est la tangente de l'angle entre l'axe des abscisses et la droite.

Important travail à faire faire de lecture graphique du coefficient directeur d'une droite et de construction d'une droite connaissant le coefficient directeur.

 

Pour expliquer le résultat "la représentation graphique d'une fonction affine est une droite", on s'est appuyé sur la translation de vecteur .

 

Dans les exemples ultérieurs, il est préférable d'insister plutôt sur la translation de vecteur (P étant un point de la droite) qui transforme la droite d'équation y = ax en la droite d'équation y = ax + b.

 

Construction de la droite représentative d'une fonction affine :

 

Détermination de la fonction affine dont on connaît l'image de deux valeurs

Détermination de la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère

 

Rappel : Il est souhaitable de privilégier l'interprétation du coefficient directeur.

 

 

 

= ou = a

 

y = yA + a(x – xA)

 

Remarque : il ne s'agit pas d'interdire les autres méthodes :

Il s'agit en troisième de développer l'aspect fonctionnel en présence de deux grandeurs proportionnelles ou à variations proportionnelles, sous les aspects numérique, algébrique et graphique. L'utilisation des équations de droite apparaît essentiellement pour simplifier et renforcer la notion de représentation graphique d'une fonction. L'étude générale de la notion d'équation de droite (sous la forme ax + by + c = 0) et l'utilisation des équations de droites à des fins de résolution de problème de géométrie est hors programme.

 

 

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