Les quatre premières séquences qui suivent utilisent l’ordinateur comme tableau interactif en salle de classe, la dernière est à réaliser en salle informatique.

Elles correspondent à des activités que la plupart des enseignants proposent habituellement à leurs élèves sans l’outil informatique, mais nous verrons à travers les différents exemples, ce qu’apporte le logiciel.

Un autre logiciel de dessin aurait pu être utilisé (CabriII, par exemple), mais la réalisation des fichiers aurait été plus complexe (appel à des macros logiques).

Périmètre et aire d’un rectangle

Niveau : Cinquième.

Type d’utilisation : ordinateur " Tableau interactif " en salle de classe.

Matériel : un ordinateur muni d’un dispositif de visualisation collective

le logiciel de géométrie dynamique Geoplanw.

Organisation et déroulement de la séance 

Fichier utilisé : RECTPA.

Notion étudiée : notion d’équation.

Durée : moins de 2 heures.

1. Travail collectif

   Le professeur montre sur écran, un rectangle ABCD dont la longueur et la largeur sont affichées (appui sur la touche V).

   Il modifie au clavier le rectangle et demande aux élèves de conjecturer le lien entre longueur et largeur de tous ces rectangles (la longueur mesure 2 cm de plus que la largeur).

2. Travail individuel

   Le professeur répartit le travail dans la classe, par binôme. Il fait construire, par chaque binôme, sur une feuille A4, un rectangle dont la longueur mesure 2 cm de plus que la largeur (il donne des largeurs allant de 1 cm à 7 cm, avec un pas de 0,5) et demande de calculer le périmètre et l’aire du rectangle obtenu.

    

3. Travail collectif

   Les élèves affichent leurs productions sur un mur de la classe (par ordre croissant des largeurs), et complètent un tableau préparé par l’enseignant donnant les largeurs, périmètres et aires de leurs rectangles.

   La correction se fait à l’écran (appui sur les touches P, A, 1, 2, …, 0, T, Y, U).

4. Travail collectif

Le professeur demande aux élèves de trouver une largeur de rectangle pour que le périmètre soit égal à 27 cm. Les élèves ont recours aux productions affichées pour affirmer que la largeur cherchée est comprise entre 5,5 cm et 6 cm. Le professeur modifie à l’écran le rectangle en partant d’un rectangle de 5,5 cm de largeur (appui sur la touche T ; quand il arrive à 5,8, diminution du pas : 0.0125).

Surprise : pour 5,7 et 5,8, le périmètre affiché est de 27. Intuitivement, il n’est pas possible, d’avoir deux valeurs qui donnent le même périmètre ! (Confirmation par les calculs affichés avant modification du pas.) Une vérification malgré tout est faite par écrit (test) : aucune des deux valeurs n’est correcte. L’explication est trouvée : les longueurs affichées ont un chiffre après la virgule. Le professeur modifie l’affichage en mettant deux chiffres après la virgule (modifications de Af1, Af3, Af4). La valeur 5,75 donne un périmètre de 27 cm. La vérification est faite (nouveau test) ; un rectangle dont la largeur mesure 5,75 cm a bien un périmètre de 27 cm.

Remarque : certains élèves peuvent trouver le résultat par soustraction et division : (27 - 4) : 4. La méthode est à envisager, de toutes façons, pour conclure : la justification se fait en marquant les points E et F de [AB] et [DC] tels que EB = FC = 2 cm.

1. Travail individuel

Le professeur demande aux élèves de trouver une largeur de rectangle pour que l’aire soit égale à 131,25 cm².

Ici, les élèves ne peuvent exhiber de formule pour trouver la réponse. Ils cherchent la solution au problème (10,5) par test.

Apports du logiciel

• Il a aidé l’élève, dès le début de l’activité, à comprendre et à s’approprier la situation qui lui était proposée.
• Il a permis un traitement dynamique du problème, en étant un outil d’exploration (tester des calculs).
• Rapidement , les élèves ont pu conjecturer que 5,75 cm était la largeur du rectangle de périmètre 27 cm. (Si le travail avait été demandé sans ordinateur, beaucoup d’élèves auraient abandonner, même avec la calculatrice.) Le but ici était d’approcher la notion d’équation par la pratique de tests.
• La notion de fonction a aussi été abordée.
• S’est imposé, de plus, le fait de vérifier des calculs affichés, donc de se méfier aussi des affichages sur calculatrice (problèmes de formats).

Suite de ce travail

Le professeur peut proposer de trouver d’autres rectangles connaissant, soit leur périmètre, soit leur aire, en utilisant cette fois un tableur.

• Il y aura alors nécessité de trouver des formules pour calculer périmètre et aire.
• Il faudra comparer les différentes formules obtenues : ce sera l’occasion de faire un travail d’approche de la notion d’identité (justifications géométriques ; utilisation de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition ; nombre d’opérations à effectuer pour chaque formule ; rapidité du calcul …).

Construction d’un octogone

Niveau : Troisième.

Type d’utilisation : ordinateur " Tableau interactif " en salle de classe.

Matériel : un ordinateur muni d’un dispositif de visualisation collective

le logiciel de géométrie dynamique Geoplanw.

Organisation et déroulement de la séance 

Fichiers utilisés : OCTOG, OCTOGONE

Notion étudiée : la rotation.

Durée : 1 heure.

1. Travail individuel

   Le professeur montre sur écran, un octogone régulier ABCDEFGH (fichier OCTOG).

   Il demande aux élèves de calculer l’angle , puis de construire un octogone régulier de 4 cm de côté.

    

2. Travail collectif

Les productions des élèves ne sont pas précises : les octogones ne sont pas réguliers.

Le professeur propose aux élèves de faire la construction à l’ordinateur. Il a marqué les points A et B (fichier OCTOGONE), et leur montre le menu CREER Point où figure le sous-menu Point image … par une rotation (angle mesuré).

Il construit devant eux, en écoutant leurs propositions les points C et D. Puis, en appuyant sur la touche P de dessin par étapes, il fait apparaître successivement les points D, E, F, G, H en leur demandant pour chaque point, comment il les a construit.

Apports du logiciel

• Il a permis une construction exacte.
• La rotation est apparu comme un outil pour la construction. Sur papier, il n’était pas nécessaire d’en parler.

Milieux et cordes

Niveau : Quatrième.

Type d’utilisation : ordinateur " Tableau interactif " en salle de classe.

Matériel : un ordinateur muni d’un dispositif de visualisation collective

le logiciel de géométrie dynamique Geoplanw.

Organisation et déroulement de la séance 

Fichier utilisé : MILCORD.

Notions étudiées : la droite des milieux d’un triangle - triangle rectangle et cercle.

Durée : 2 heures.

1. Travail collectif

Le professeur montre sur écran, un cercle de centre O et de rayon 6 cm, deux points A et M du cercle et le milieu P de [AM].

Il se met en mode Trace. Il laisse le point A fixe et pilote le point M avec la souris. Il demande de conjecturer sur quelle ligne se trouve le point P.

Les élèves parlent immédiatement de cercle. Des précisions leur sont demandées : comment caractériser un cercle ?

• par son centre et son rayon : les élèves donnent pour centre le milieu de [AO], mais ne se prononcent pas nécessairement pour le rayon. Se pose la question : que signifie cercle de centre I et de rayon R ?

Le professeur trace [AO], marque le milieu I de [AO] (appui sur la touche I), puis trace [IP] et affiche IP (appui sur la touche V). Le rayon semble valoir 3 cm.

De plus une figure clé pour la démonstration est apparue (appui sur la touche 1).

• par un diamètre : les élèves donnent le diamètre AO. Ils savent que si l’angle est droit, le cercle de diamètre AO passe par P. Le professeur trace l’angle et affiche sa mesure (appui sur la touche 2). Elle semble être égale à 90°.

1. Travail individuel

   Le professeur pose le problème suivant, au brouillon.

   Soient un cercle de centre O et de rayon 6 cm, deux points A et M du cercle, P le milieu de [AM], I celui de [AO]. Démontrer que IP = 3 cm. (Trouver deux démonstrations.)

    

2. Travail collectif

La correction est faite à l’écran. Les figures clés des deux démonstrations sont sorties (appui sur les touches 2 et 3 pour l’utilisation du théorème de la droite des milieux, appui sur les touches 4, 5, 6, d pour l’utilisation du théorème sur triangle rectangle et cercle circonscrit). Au fur et à mesure, on écrit au tableau, hypothèses et théorème utilisés, ainsi que la conclusion.

Les élèves recopient sur leur cahier.

Apports du logiciel

• Il a aidé l’élève, dès le début de l’activité, à comprendre et à s’approprier la situation qui lui était proposée.
• Il permet de mieux comprendre les caractérisations d’un cercle (ce n’est pas uniquement un " rond ").
• Il est générateur de pensée : les questions posées à propos des caractérisations du cercle, amènent tout naturellement les figures clés pour les démonstrations.
• Les élèves comprennent mieux les règles du jeu de la démonstration en voyant les figures clés successivement.

Lien entre deux angles

D’après un exemple proposé dans la brochure du Ministère de l’Education Nationale : Geoplan version 2 avec des exemples pour le collège et le lycée.

Niveau : Troisième.

Type d’utilisation : ordinateur " Tableau interactif " en salle de classe.

Matériel : un ordinateur muni d’un dispositif de visualisation collective

le logiciel de géométrie dynamique Geoplanw.

Organisation et déroulement de la séance 

Fichier utilisé : ANGS.

Notions étudiées : angle inscrit, fonction affine, lecture graphique.

Durée : 2 heures.

1. Travail collectif

   Le professeur montre sur écran, un cercle de centre I, un triangle AIB équilatéral et un point M sur le cercle différent de A et de B.

   Modifiant au clavier le point M, l’enseignant demande, pour chaque position, d’estimer les mesures des angles et . La vérification se fait par appui sur la touche V.

2. Travail individuel

• Sur papier, les élèves reproduisent le triangle équilatéral dans un cercle de 5 cm de rayon.
• L’enseignant cache, sur l’écran, le point M et le triangle MAB (appui sur la touche M) et affiche les valeurs de et  ; il demande aux élèves, dans un premier temps, de dessiner à main levée, le triangle MAB correspondant ; puis, il leur demande une construction précise sur leur feuille (utilisation de l’angle au centre). La vérification se fait à l’écran, en faisant réapparaître M. Plusieurs cas sont envisagés (une feuille comportant plusieurs cercles, ainsi que les points A, B, I est distribuée).

1. Travail individuel

• La construction précédente se faisant en utilisant un seul angle ( ou ), on cherche un lien entre les mesures des deux angles (exploration sur ordinateur). La justification est demandée (deux cas sont à envisager).
• Les élèves ont à représenter, dans un repère orthonormé (unité : 2 cm pour 10°), la mesure de l’angle en fonction de la mesure de l’angle . La vérification est faite sur ordinateur, en appuyant sur la touche R, le point N ayant pour coordonnées (, ).

1. Travail collectif

   Sur l’écran, apparaît le cercle avec un triangle MAB, ainsi que le graphique et le point N correspondant. Les mesures des angles sont cachées ; l’enseignant en demande une valeur approchée à 5° près  (pour faciliter la lecture graphique, des segments ont été tracés sur les axes). Suit la vérification (appui sur la touche V). D’autres cas sont envisagés.

    

2. Travail individuel

Une feuille est distribuée aux élèves, reproduisant plusieurs écrans comme précédemment. Aucun ne comporte les mesures des angles, mais il est précisé que les mesures choisies sont toutes multiples de 5. Le point M et le triangle ABM ont été effacés ; dans chaque cas, il est demandé aux élèves de construire précisément, le triangle ABM (lecture graphique, utilisation de l’angle au centre).

Apports du logiciel

• Il a aidé l’élève, dès le début de l’activité, à comprendre et à s’approprier la situation qui lui était proposée.
• Il a permis un traitement dynamique du problème, en étant un outil d’exploration.
• Il a permis de travailler dans plusieurs cadres (géométrique, numérique, graphique).
• Des lectures graphiques étant demandées, pour une meilleure compréhension, le principe de la représentation graphique a été illustré par des segments dessinés sur les axes.
• L’enseignant a pu réaliser rapidement un document dans lequel il a inséré des copies d’écran.

Carrés ?

D’après un exemple proposé dans la brochure du Ministère de l’Education Nationale : Geoplan version 2 avec des exemples pour le collège et le lycée.

Niveau : Sixième.

Type d’utilisation : en salle informatique.

Matériel : un ordinateur par groupe de deux élèves

le logiciel de géométrie dynamique Geoplanw, avec un menu simplifié.

Organisation et déroulement de la séance 

Fichier utilisé : CARRE.

Notions étudiées : constructions de parallèles et de perpendiculaires, distinction entre figure et dessins associés.

Durée : 2 heures.

Dans cette séquence, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, le quadrilatère EFGH est un trapèze de bases EH et GF, rectangle en G. L’appui sur la touche I permet de retrouver l’écran initial.

Le professeur distribue la fiche élève suivante.

1. Ouvrir le fichier CARRE.

   L’écran présente deux dessins de quadrilatères ABCD et EFGH. Vous avez ci-dessous, une copie d’écran. Ces deux dessins sont-ils superposables ? Vous pouvez déplacer, à la souris, les points C et G, ils sont mobiles (Les points A, B, E et F sont fixés. ).

   En fait, les points D et H ont été obtenus comme points d’intersection de droites particulières : des parallèles ou des perpendiculaires définies à l’aide des points A, B, C, E, F, G.

2. a) Construire un point D’ tel que si on déplace le point C, D’ coïncide toujours avec D. Recopier, sur feuille, le programme de construction de D’.

   b) Construire un point H’ tel que si on déplace le point G, H’ coïncide toujours avec H. Recopier, sur feuille, le programme de construction de H’.

    

3. Tracer sur papier un segment AB de 6 cm. Choisir un point C.

• Construire le point D’ en suivant le même programme de construction que sur l’ordinateur. Tracer le quadrilatère ABCD’.
• Qu’aurait- il fallu écrire de plus dans le programme de construction pour que le quadrilatère soit un carré ?

1. Tracer sur papier un segment EF de 6 cm. Choisir un point G.

• Construire le point H’ en suivant le même programme de construction que sur l’ordinateur. Tracer le quadrilatère EFGH’.
• Qu’aurait- il fallu écrire de plus dans le programme de construction pour que le quadrilatère soit un carré ?

Apports du logiciel

• Il permet d’établir le rapport entre l’objet géométrique mathématique et les dessins qui le représentent.
• Il permet de faire une exploration pour mettre en évidence des relations entre les éléments d’une figure.

Conclusion

Pour toutes ces activités, le logiciel de dessin est un outil au même titre que la calculatrice, le rétroprojecteur … Il permet de donner du sens aux situations proposées, de mieux comprendre ou faire apparaître l’utilité de certaines notions mathématiques, de faire des explorations dynamiques, de vérifier des résultats …

L’utilisation d’un tel outil ne supprime nullement la nécessité d’un travail écrit de la part des élèves ; au contraire, elle permet à l’enseignant d’être exigeant sur la qualité des rédactions demandées.

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