PNF Nancy 19/01/99

M.H. Munier J.C. Démoly formateurs académie de Nancy-Metz

L’utilisation du logiciel CHYPRE décrite ci-après est extraite d’un travail réalisé par une équipe de formateurs de l’académie de Nancy-Metz, engagée simultanément dans une recherche action sur l’apport de l’informatique au service de l’apprentissage du raisonnement et la mise en place d’une formation sur ce thème, dans le cadre du plan académique de formation..

Ce travail a été mené en collaboration avec Philippe Bernat, auteur de la thèse " Conception et réalisation d’un environnement interactif d’aide à la résolution de problèmes, CHYPRE : un exemple pour l’enseignement de la géométrie - Nancy I - Décembre 1994. "

Notre démarche

Nous sommes partis des questions suivantes : quelles activités proposer au service de l’apprentissage du raisonnement ? quels sont les obstacles ? quelle est la place de l’ordinateur (est-il une aide ? engendre-t-il des difficultés ? génère-t-il des apprentissages d’une autre nature ?).

L'observation d'élèves en situation de recherche et l’analyse de démonstrations rédigées par des élèves nous ont permis de dresser un inventaire des difficultés rencontrées pour les mettre ensuite en relation avec des types d'activités possibles, en réponse à ces difficultés.

La démonstration en géométrie : erreurs et difficultés

SENS

Non compréhension du rôle d’une démonstration

Sens du vrai-faux et rôle du contre-exemple non identifiés

Généralisation à partir d’exemples, utilisation d’un cas particulier pour démontrer une propriété à caractère général.

 

Non représentation de ce qu’est une démonstration

• organisation logique,
• différence de statut des faits (hypothèse, conjecture, fait prouvé ou à prouver),
• statut du dessin (lecture ou mesure sur le dessin, figure réalisée dans un cas particulier)

À noter également certains élèves qui ne démarrent pas, d’autres qui reproduisent simplement une forme en omettant la phase de recherche, d’autres encore qui ne savent pas abandonner une piste pour en explorer une autre.

COHÉRENCE

• Utilisation partielle (ou complète) du résultat à démontrer dans un raisonnement devant aboutir à ce même résultat.
• Étapes de raisonnement manquantes. Les hypothèses utiles à une étape du raisonnement sont mal identifiées.
• Mauvaise identification de la propriété utile à une étape de raisonnement et particulièrement confusion énoncé direct, énoncé réciproque
• Propriétés inventées

FORME

• Dans l’écriture des hypothèses : oublis ou redondances, confusion hypothèses et premières déductions
• Rédaction incomplète (part d’implicite), peu structurée, imprécise
• Emploi incorrect du vocabulaire et des notations mathématiques.

Nous avons fait l'hypothèse que l'utilisation de CHYPRE permettrait aux élèves

• d'identifier l'organisation logique d'un raisonnement particulièrement grâce à sa présentation sous forme de graphe, et ainsi de mieux percevoir ce qui est attendu ;
• de distinguer les différents statuts d'un fait, de percevoir l'évolution de statut des conjectures au cours du raisonnement ;
• de se construire une démarche personnelle de recherche d'un raisonnement déductif. En effet, CHYPRE veut privilégier l'activité de recherche de la part des élèves : il autorise les essais, n'impose de partir ni des hypothèses, ni du but mais permet le démarrage par des faits intermédiaires ; il établit les liens logiques, il permet de dissocier recherche et rédaction de la démonstration et apporte une aide à la rédaction.

sous réserve d'activités préalables pour donner du sens à la démonstration et d'un choix de problèmes appropriés : on propose des raisonnements en plusieurs étapes où l'élève a réellement l'initiative de la stratégie, la base de connaissances de l'élève coïncide avec celle du logiciel, cette base permet de résoudre le problème posé.

Quelques spécificités du logiciel

C HY PRE

onjecture pothèse uve

les faits et leur statut

définis initialement par l’utilisateur

Le fait constitué d’une propriété géométrique (points alignés, milieu, parallèle...) et d’un statut (hypothèse, conjecture ou but, fait prouvé) sert d’intermédiaire entre l’utilisateur (professeur, élève) et le logiciel.

Les faits sont déclarés par l’utilisateur à partir d’une figure.

l’énoncé d’un problème

proposé par l’utilisateur

sous forme d’une figure et de faits (hypothèses et but).

la résolution d’un problème

par l’utilisateur

et la machine

L’utilisateur introduit des faits avec le statut de conjecture. Ces faits correspondant à des intermédiaires possibles entre but et hypothèse. Ils peuvent être introduits sans aucune hiérarchie au fur et à mesure de la recherche.

La machine établit les liens logiques entre les différents faits à partir de sa base de connaissances (prédéfinie par l’auteur du logiciel). En fonction de ces liens, elle actualise le statut des conjectures (ou but). La démonstration est terminée quand le but a le statut de fait prouvé.

les modes de représentation à l’écran

par la machine

Trois modes de représentation proposés dans trois fenêtres distinctes :

• les faits décrits et classés en fonction de leur statut,
• la figure,
• le graphe sur lequel apparaissent les faits et les liens logiques entre ces faits. Le statut des faits est représenté sur le graphe par une couleur (bleu pour les hypothèses, rouge les conjectures, noir les faits prouvés)

Une utilisation de CHYPRE dans une classe de 4^ème

• 1^ère activité : prise en main du logiciel à partir de la résolution d’un problème

L’activité est proposée alors que le chapitre " droite des milieux " est terminé. Elle concerne tous les élèves et se déroule sur une heure de cours. Les élèves travaillent par binôme sur machine et sur papier, ils ont accès à leur classeur de mathématiques. La fiche de consignes dont ils disposent propose une utilisation " linéaire " du logiciel pour en faciliter l’accès. La possibilité d’utilisation simultanée des différentes fonctionnalités sera précisée aux élèves en fin d’activité. En cas d’appel à l’aide de la part d’un groupe, le professeur recentre sur les consignes si la demande est technique ou questionne les élèves pour relancer la recherche si la difficulté est d’ordre mathématique. Signalons que ces élèves avaient l’habitude de travailler sur ordinateur et particulièrement sur CABRI.

Énoncé du problème

ABCD est un parallélogramme. I est milieu de [AC] et J milieu de [AD].

Montrer que (IJ) est parallèle à (AB).

Consigne

Réaliser la démonstration avec le logiciel.

Lorsque la recherche est terminée, imprimer le graphe. Colorier le chemin de la démonstration. Rédiger cette démonstration.

Consignes techniques

Ouvrir le fichier

Dans le menu, choisir Fichier – Ouvrir - exer - Formrais

Ce fichier comporte la figure et l'énoncé sous forme des faits " hypothèses " et " but ".

Visualiser les faits

Faire apparaître la fenêtre des faits

Cliquer 2 fois sur l'icône des faits.

Les hypothèses apparaissent dans le cadre hypothèses. Le but (conclusion) a la valeur de conjecture ; il passera à la valeur prouvé lorsque le réseau de déduction sera complet.

Organiser les deux fenêtres (figure et faits) dans l'écran

Dans le menu, choisir Fenêtre – Mosaïque

Pour construire le réseau de déduction, il faut ajouter des faits en leur donnant la valeur de conjecture :

se placer dans la fenêtre Figure et dans le menu, choisir Résolution - nouveau fait ;

choisir le fait dans la liste et lui donner la valeur de conjecture ;

sur la figure, désigner les objets utiles pour élaborer le fait ;

Cette conjecture apparaît dans la fenêtre des faits, comme conjecture ou comme fait prouvé selon que Chypre a suffisamment d'informations pour la démontrer ou non.

 

Liste des faits gérés par Chypre

Une conjecture peut être évaluée à chaque instant :

cliquer deux fois sur la conjecture et demander l'évaluation.

Si Chypre ne déclare pas ce fait comme prouvé, il manque des faits intermédiaires : compléter le réseau de déduction en ajoutant ce(s) fait(s).

Construire le graphe

Faire apparaître la fenêtre du graphe et organiser les fenêtres

cliquer 2 fois sur la fenêtre du graphe ou bien dans le menu, choisir Fenêtre - Graphe de résolution.

 

dans le menu, choisir Fenêtre - Mosaïque

Organiser le graphe

A l'aide de la souris, sortir chaque fait de la boîte du haut et le disposer dans la page

les faits bleus sont les hypothèses,

les faits rouges, les conjectures,

les faits noirs sont prouvés.

La démonstration sera donc terminée lorsque le rouge aura disparu.

A l'aide de la souris, sortir les liens entre les faits

ils apparaissent sous forme de petits ronds dans un petit carré à gauche de la boîte des faits. Les flèches matérialisent les déductions (en pointillés vers les hypothèses)

 

Organiser le graphe pour le rendre lisible.

Aides à la rédaction

A partir du graphe

cliquer 2 fois sur un arc (petit rond) : les faits utiles pour prouver apparaissent ;

choisir Démonstration : la rédaction de l'étape apparaît.

 

A partir de la fenêtre des faits :

cliquer 2 fois sur un fait ; demander l'aide : chaque mot en vert peut vous conduire à une information le concernant, il suffit de cliquer sur ce mot.

 

 

Deux binômes ont eu besoin d’aide pour terminer le raisonnement et ce sont eux qui ont aussi posé le plus de questions techniques. Au bout d’une heure, tous les groupes avaient réussi à obtenir un graphe complet.

Compte tenu de la diversité des graphes obtenus dans la classe, le document suivant qui les présente a été distribué à chaque élève. Ce document a permis de mettre en évidence le fait que plusieurs chemins différents étaient possibles pour établir un résultat, que certains implicites pouvaient être tolérés.

Il a également servi de support à la rédaction de leur démonstration pour les élèves qui n’en avaient pas eu le temps à l’heure précédente.

• 2ème activité : construire un énoncé de problème

L’activité décrite ci-après a été menée avec la même classe, la semaine suivante. Elle s’est déroulée dans le cadre du cours de maths, sur une plage de deux heures consécutives. Les élèves sont répartis en groupes hétérogènes par rapport à leurs difficultés concernant le sens de la démonstration. L’intention est de leur faire percevoir l’importance du statut des faits dans un raisonnement.

Voici une figure…

et une liste de faits...

AS = ST A,S,T sont alignés ST =TC S, T, C sont alignés N est le point d'intersection des droites (TP) et (LC) A,T,C sont alignés NL = NC N, L, C sont alignés M est milieu de [TP] N est milieu de [MT]

T, P, N sont alignés AL = LP A, L, P sont alignés S est milieu de [AT] T est milieu de [SC] L est milieu de [AP] (LS) est parallèle à (PN) (LS) est parallèle à (TN) (LS) est parallèle à (TP) (LS) est droite des milieux dans ATP

1ère phase : fabrication d'un énoncé

Travail en groupes sur papier.

Consigne : fabriquer un énoncé à partir de cette configuration en choisissant dans cette liste des faits comme hypothèses et un fait comme conclusion (but). Rédiger sur papier le texte de votre énoncé

ATTENTION :

- les hypothèses choisies doivent suffire pour aboutir à la conclusion ;

- toutes les hypothèses choisies sont utiles.

 

2ème phase : l'énoncé est-il correct ?

Travail de groupe (les groupes que précédemment) avec ordinateurs, logiciel CHYPRE

Déclarer les faits

Déclarer les hypothèses et le but correspondant à votre énoncé.

Réaliser la démonstration

Vérifier la validité de l’énoncé

Vérifier, sur le graphe, que :

• toutes les hypothèses choisies ont été utilisées ;
• les hypothèses choisies suffisent pour aboutir au but.

Si non, corriger l'énoncé.

Si oui, rédiger sur papier la démonstration avec l’aide éventuelle de Chypre

Imprimer le graphe de résolution et enregistrer le fichier sous le nom GROUPE? ( le ? correspond au numéro de votre groupe). Remplir la colonne correspondant à votre groupe sur le tableau ci-dessous.

3ème phase : échange des énoncés entre deux groupes

Le professeur choisit pour les échanges des groupes ayant utilisé des faits identiques ou proches avec des statuts différents

Consigne :

Sur machine, transformer le statut des faits et/ou ajouter et/ou supprimer des faits de façon à ce que cela corresponde au nouvel énoncé.

Observer les transformations du graphe que cela provoque.

Réaliser la démonstration sur machine.

Vérifier que l’énoncé est correct.

Remplir la colonne du tableau correspondant à ce groupe.

4ème phase : mise en commun

On affiche un tableau complété.

On compare les faits et les statuts des faits.

On dégage deux éléments :

- avec une même configuration on peut fabriquer des énoncés différents

- des faits identiques qui n’ont pas le même statut conduisent à des énoncés différents. D’où l’importance du statut des faits.

Le logiciel doit permettre de visualiser l’effet du changement de statut des faits.

Faits	Groupe 1	Groupe 2	Groupe 3	Groupe 4	…
AS = ST
A,S,T sont alignés
ST =TC
S, T, C sont alignés
N est le point d'intersection des droites (TP) et (LC)
A,T,C sont alignés
NL = NC
N, L, C sont alignés
M est milieu de [TP]
N est milieu de [MT]
T, P, N sont alignés
AL = LP
A, L, P sont alignés
S est milieu de [AT]
T est milieu de [SC]
L est milieu de [AP]
(LS) est parallèle à (PN)
(LS) est parallèle à (TN)
(LS) est parallèle à (TP)
(LS) est droite des milieux dans ATP

H pour Hypothèse B pour But

Le temps de démarrage de l’activité a été variable d’un groupe à l’autre en raison de la " nouveauté " de la tâche proposée. Tous les groupes ont cependant réussi à élaborer un énoncé. Pour certains, cet énoncé satisfaisait aux critères imposés alors que pour d’autres, il n’était pas possible de démontrer le but à partir des hypothèses choisies. Le niveau de complexité des problèmes proposés était également variable d’un groupe à l’autre.

Cependant, lors de la deuxième phase, les groupes qui avaient construit un problème relativement complexe n’ont pas réussi à rendre lisible le graphe de résolution et ainsi n’ont pas pu valider leur énoncé. Au bout des deux heures, les énoncés étaient tous sous CHYPRE et, selon les groupes, la résolution était en cours ou terminée. Le logiciel est apparu, dans la forme qu’il avait au moment de cette expérimentation, inadapté à l’activité proposée. Le professeur a alors lui-même soit rendu lisibles les graphes de résolution, soit fourni des contre-exemples des propriétés fausses que certains groupes proposaient de démontrer. À partir de ces éléments, la dernière phase de l’activité a pu être réalisée.

C’est à l’issue de ce travail que P. Bernat a implanté la fonctionnalité " filtrer le graphe " dans le logiciel.

• 3ème activité : démontrer une propriété

Ce travail a concerné six élèves de la même classe, volontaires et présentant encore des difficultés à élaborer un raisonnement. Il se déroule sur une heure, en dehors des heures de cours. Les élèves travaillent par binôme sur machine. Un fichier " trace " ainsi qu’un enregistrement audio permettront une mise en relation des échanges entre les deux élèves avec leurs actions sur le logiciel.

Les élèves disposent également de fiches d’aide technique ou méthodologique.

Exercice A   (ABCD) est un parallélogramme. Les diagonales se coupent en I. G est le milieu de [CD] et F le milieu de [BC]. Les droites (AC) et (GF) se coupent en M.   1) Montrer que M est le milieu de [IC].   2) Montrer que M est le milieu de [GF]

Compléter la figure.

Ouvrir le 'graphe de résolution' en double-cliquant sur son icône.Compléter les hypothèses et déclarer le but.Résoudre l'exercice. Imprimer le graphe.

Rédiger la démonstration.

Indications :

un double-clic sur un fait ou un arc vous donne des informations supplémentaires

évaluezevaluer les faits que vous pensez avoir prouvés

filtrezfiltrer le graphe pour le rendre plus lisible

Extraits de fiches d’aide

#+ Compléter les hypothèses ...

Une seule hypothèse est affichée : (ABCD) est un parallélogramme

En lisant l'énoncé, il faut reconnaître les hypothèses du problème et les déclarer en cliquant dans le menu Résolution/Nouveau fait... (de la fenêtre de la figure).

Dans la boîte de dialogueNouveau_fait_but qui s'affiche, choisir Hypothèse pour "valeur" du fait et choisir le type de fait (parallélogramme, points alignés, etc.)

Pour déclarer le but, cocher la case But.

Désigner ensuite les points du fait (par exemple les deux points d'un segment puis le milieu). Une aide est disponible en cliquant le bouton droit de la souris.

Déplacersortir_rect, dans la fenêtre du graphe, les faits qui apparaissent dans le rectangle en haut à gauche.

# A quel point des consignes en es-tu ?

Compléter la figurecomplete_figure

Ouvrir le 'graphe de résolution' en double-cliquant sur son icône pt2ouvrirgraphe

 

Compléter les hypothèses et déclarer le but complete_hypo

 

Résoudre l'exercice résoudre

 

Imprimer le graphe imprimer

 

Rédiger la démonstration demo

 

 

Pour conclure

L’observation des productions comme des comportements des élèves de cette classe permet de penser que le travail réalisé a permis à la majorité d’entre eux de mieux percevoir ce qu’est une démonstration et de s’engager dans la recherche d’une preuve. Les élèves disent que le graphe " les aide à comprendre " mais ils ne sont pas encore tous capables de mener complètement le raisonnement dans un problème non guidé. S’ils sont capables de " lire " un déductogramme, ils n’y ont cependant pas recours pour présenter leurs raisonnements, sur papier.

Comme nous l’avons déjà précisé, l’usage de ce logiciel ne peut que s’inscrire dans un travail plus complet sur l’apprentissage du raisonnement déductif, il est alors difficile d’évaluer les effets du logiciel sur les apprentissages réalisés.

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