Chapitre 2 : Le théorème de Thalès ,sa réciproque et sa contraposée

A) Le théorème de thalès ( généralisation du théorème de 4ieme )

Le théorème de Thalès vu en 4ieme est étendu au cas du “papillon”.

Configuration classiqueConfiguration classiqueConfiguration du "papillon"

le théorème de Thalès

Dans le triangle ABC M in(AB), N in(AC) et (MN) parallel(BC) donc d'après le théorème de Thalès on a : AM/AB=AN/AC=MN/BC

Exemple :

Un exemple avec le "papillon"

Calculer OF et OR

Dans le triangle EOF, Tin(OF) , R in (OE) et (TR) parallel (EF) donc d'après le théorème de thalès on a : OE/OR=OF/OT=EF/RT d'ou après remplacement 4/OR=OF/3=10/7 puis en utilisant le produit en croix, on trouve :

OR={4*7}/10=14/5 et OF={3*10}/7=30/7

Démonstration du théorème de Thalès

B) La réciproque du théorème de thalès

la réciproque du théorème de Thalès

Si dans le triangle ABC les points A,M,B et les points A,N,C sont alignés dans le même ordre et si AM/AB=AN/AC=MN/BC alors d'après la réciproque du théorème de Thalès (MN) parallel(BC)

la réciproque du théorème de Thalès

Si dans le triangle ABC les points A,M,B et les points A,N,C sont alignés dans le même ordre et si AM/AB<>AN/AC<>MN/BC alors d'après la contraposée du théorème de Thalès (MN) et (BC) ne sont pas paralléles.

Remarque :

  • Deux fractions sur les trois sufisent

Exemple :

Les droites (BC) et (MN) sont elles parallèles ?

Les droites (BC) et (MN) sont elles parallèles ?

D'une part AM/AB=5.4/3=54/30=9/5
D'autre part AN/AC=7.2/4=72/40=9/5

On constate que AM/AB=AN/AC et que les points A,B,M et A,C,N sont alignés dans le même ordre donc d'après la réciproque du théorème de Thalès on a (BC)//(MN).

Exemple :

Les droites (AK) et (CI) sont elles parallèles ?

Les droites (AK) et (CI) sont elles parallèles ?

D'une part TA/TI=8/5
D'autre part AK/CI=10.5/7=105/7=15

On constate que TA/TI<>AK/CI et que les points A,T,I et K,T,C sont alignés dans le même ordre donc d'après la contraposé du théorème de thalès les doites (AK) et (CI) ne sont pas parallèles.

Pourquoi faut-il préciser que les points sont alignés dans le bon ordre ?

Des cas où la réciproque de Thalès ne fonctionne pas

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La démonstration de la réciproque du théorème de Thalès

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C) Synthèse

- On utilise le théorème de Thales pour calculer une longueur qui manque
- La réciproque du théorème de Thales sert à demontrer que 2 droites sont parallèles
- La contraposé du théorème de Thales sert à demontrer que 2 droites ne sont pas parallèles