Henri Poincaré, le mathématicien...

" Une théorie est bonne lorsqu'elle est belle "

Henri Poincaré

Les bases mathématiques de la théorie du chaos

Les applications de la théorie du chaos

" Il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux. Un petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les dernières. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit...

Une cause très petite qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est du au hasard "

Henri Poincaré " Science et Méthodes 1908 "

Approche pédagogique du chaos...

Suites, Bifurcations, Bassins d'attraction...

SUITES...

Considérons la suite U_n+1=U_n²-1

U₀ étant donné... Suivant les valeurs de U₀ le comportement de la suite n'est pas le même...Parfois la suite oscille, au bout de 100 calculs.., elle prend alternativement les valeurs O ou -1... Cela dépend des conditions initiales, c'est-à-dire de U₀...

Considérons U_n+1=L(U_n²-1 )

Exemple de suite...

U_n+1=L(U_n²-1)

L=1,08 U₀₌0,5

La suite oscille entre quatre valeurs....

DIAGRAMMES DE BIFURCATION

Considérons U_n+1=L(U_n²-1 ) On fait varier L (représenté en abscisse) dans un domaine choisi et on porte en ordonnée, les valeurs obtenues par les termes de la suite, après un certain nombre d'itérations ( 100 par exemple). Pour chaque valeur de L, l'opération est recommencée un grand nombre de fois ( Nb de points) à partir d'une valeur aléatoire du premier terme de la suite U₀.

Partant d'une valeur U₀ quelconque, après 100 calculs, suivant les valeurs de L : les valeurs de U évoluent ainsi :

L=0,8 la valeur de U reste constante...
L=1 la suite oscille entre 0 et -1
L=1,08 la suite prend cycliquement 4 valeurs... ( exemple ci-dessus)
L=1,09 la suite prend des valeurs imprévisibles, nous sommes dans le chaos, on ne peut prédire le comportement de la suite...Si L est compris entre 1,2 et 1,4 on voit apparaître des fenêtres organisées...et à l'intérieur de ces fenêtres organisées, encore du chaos...

Exemples de diagrammes de bifurcation

3 images Jpeg avoisinant 400K

Bassins d'attraction

Il est possible de visualiser ainsi l'extrême sensibilité aux conditions initiales ( le fameux " Effet papillon " ) et l'autosimilarité..qui nous mène dans le monde des fractales...

Pour cela, à partir d'une valeur choisie et maintenue constante de L on porte en abscisse les valeurs ( dans un domaine choisi ) d'initialisation Uo de la suite et en ordonnée, la valeur du terme correspondant -Un- de la suite après un grand nombre d'itérations.

En choisissant des valeurs de Uo très proches encadrant une transition, on vérifie la sensibilité aux conditions initiales.

En choisissant des valeurs de Uo très proches encadrant la limite maximale de Uo , le diagramme obtenu reste toujours semblable à lui-même quelle que soit l'échelle : c'est l'autosimilarité.

Un exemple de bassin d'attraction

Si vous êtes dans un environnement Pc, vous pouvez télécharger les exercices qui vous permettront d'approcher pratiquement le monde du chaos et de réaliser les images qui vous ont été proposées.

Téléchargez en même temps le driver egavga.bgi